Consigne: Soit $$A=\{(x,y)\in{\Bbb R}^2\mid\lvert x\rvert\neq1,\lvert y\rvert\neq1\}$$
Déterminer l'adhérence de \(A\)

Montrons par double-inclusion que \(\overline A={\Bbb R}^2\)
\(\subset\) : on a \(A\subset\overline A\) par définition de l'adhérence, et on a bien sûr \(\overline A\subset{\Bbb R}^2\)

\(\supset\) : soit \((a,b)\in{\Bbb R}^2\setminus A\)
On montre que \((a,b)\in\overline A\)
On cherche \((a_n,b_n)_n\) qui tend vers \((a,b)\) tel que $$\forall n,\quad(a_n,b_n)\in A$$

Définition d'une suite : disjonction des cas : \((a_n,b_n)_n\) est toujours dans \(A\)
Soit $$\begin{cases}\begin{cases} a_n=a+\frac1n,n\in{\Bbb N}\\ b_n =b\end{cases}&\text{si}\quad\lvert a\rvert=1\text{ et } \lvert b\rvert\neq1\\ \begin{cases} a_n=a\\ b_n=b+\frac1n\end{cases}&\text{si}\quad\lvert b\rvert=1\text{ et }\lvert a\rvert\neq1\\ \begin{cases} a_n=a+\frac1n\\ b_n=b+\frac1n\end{cases}&\text{si}\quad\lvert a\rvert=1\text{ et }\lvert b\rvert=1\end{cases}$$
- Si \(\lvert a\rvert=1\) et \(\lvert b\rvert\neq1\), alors \((a_n,b_n)\in A\) car \(\lvert b_n\rvert\neq1\) et \(\lvert a_n\rvert=1\pm\frac1n\neq1\)
- Si \(\lvert a\rvert\neq1\) et \(\lvert b\rvert=1\), alors \((a_n,b_n)\in A\) car \(\lvert b_n\rvert=1\pm\frac1n\neq1\) et \(\lvert a_n\rvert=1\)
- Si \(\lvert a\rvert=1\) et \(\lvert b\rvert=1\), alors \((a_n,b_n)\in A\) car \(\lvert b_n\rvert1\pm\frac1n\neq1\) et \(\lvert a_n\rvert=1\pm\frac1n\neq1\)

Conclusion

Ainsi \((a_n,b_n)_n\subset A\) et \((a_n,b_n)_n\) converge vers \((a,b)\) et donc \((a,b)\in\overline A\)
On a donc bien $$\overline A={\Bbb R}^2$$